Pindah Rata Rata Hamming

Panduan Ilmuwan dan Insinyur untuk Pengolahan Sinyal Digital Oleh Steven W. Smith, Ph. D. Bab 9: Aplikasi Analisis Spektrum DFT terhadap Sinyal Sangat umum untuk informasi yang akan dikodekan dalam sinusoid yang membentuk sinyal. Hal ini berlaku untuk sinyal alami, dan juga yang telah diciptakan oleh manusia. Banyak hal berosilasi di alam semesta kita. Misalnya, ucapan adalah hasil getaran dari pita suara manusia bintang dan planet mengubah kecerahan mereka saat mereka berputar pada sumbu mereka dan berputar mengelilingi satu sama lain baling-baling yang menghasilkan perpindahan air secara periodik, dan seterusnya. Bentuk bentuk gelombang domain waktu tidak penting dalam sinyal ini informasi kunci ada pada frekuensi. Fase dan amplitudo komponen sinusoid. DFT digunakan untuk mengekstrak informasi ini. Contoh akan menunjukkan bagaimana ini bekerja. Misalkan kita ingin menyelidiki suara yang berjalan melalui lautan. Untuk memulai, mikrofon ditempatkan di air dan sinyal elektronik yang dihasilkan diperkuat ke tingkat yang wajar, misalnya beberapa volt. Filter low-pass analog kemudian digunakan untuk menghilangkan semua frekuensi di atas 80 hertz, sehingga sinyal dapat didigitalkan pada 160 sampel per detik. Setelah mengakuisisi dan menyimpan beberapa ribu sampel, selanjutnya apa yang pertama adalah hanya melihat data. Gambar 9-1a menunjukkan 256 sampel dari percobaan imajiner kita. Semua yang bisa dilihat adalah bentuk gelombang yang bising yang menyampaikan sedikit informasi ke mata manusia. Untuk alasan dijelaskan segera, langkah selanjutnya adalah mengalikan sinyal ini dengan kurva halus yang disebut jendela Hamming. Ditunjukkan pada (b). (Bab 16 memberikan persamaan untuk Hamming dan jendela lainnya lihat Persamaan 16-1 dan 16-2, dan Gambar 16-2a). Hal ini menghasilkan sinyal 256 titik dimana sampel di dekat ujungnya telah berkurang dalam amplitudo, seperti yang ditunjukkan pada (c). Mengambil DFT, dan mengubahnya menjadi notasi polar, menghasilkan spektrum frekuensi 129 titik pada (d). Sayangnya, ini juga terlihat seperti kekacauan yang berantakan. Hal ini karena tidak cukup informasi 256 poin asli untuk mendapatkan kurva berperilaku baik. Menggunakan DFT yang lebih lama tidak membantu masalah ini. Misalnya, jika DFT 2048 digunakan, spektrum frekuensi menjadi 1025 sampel. Meskipun 2048 poin asli mengandung lebih banyak informasi, semakin banyak sampel dalam spektrum yang mengurangi informasi dengan faktor yang sama. DFT yang lebih panjang memberikan resolusi frekuensi yang lebih baik, namun tingkat kebisingan yang sama. Jawabannya adalah menggunakan lebih banyak sinyal asli dengan cara yang doesnt meningkatkan jumlah titik dalam spektrum frekuensi. Hal ini bisa dilakukan dengan memecah sinyal input menjadi 256 segmen segmen. Masing-masing segmen dikalikan dengan jendela Hamming, dijalankan melalui DFT 256 titik, dan dikonversi menjadi notasi kutub. Spektrum frekuensi yang dihasilkan kemudian dirata-ratakan untuk membentuk spektrum frekuensi 129 titik tunggal. Gambar (e) menunjukkan contoh rata-rata 100 spektrum frekuensi yang ditandai oleh (d). Perbaikannya jelas bahwa noise telah berkurang ke tingkat yang memungkinkan fitur menarik dari sinyal untuk diamati. Hanya besarnya frekuensi domain yang dirata-ratakan dengan cara ini fase biasanya dibuang karena tidak mengandung informasi yang berguna. Suara acak berkurang sebanding dengan akar kuadrat dari jumlah segmen. Sementara 100 segmen tipikal, beberapa aplikasi mungkin memiliki jutaan segmen rata-rata untuk menghadirkan fitur yang lemah. Ada juga metode kedua untuk mengurangi kebisingan spektral. Mulailah dengan mengambil DFT yang sangat panjang, katakanlah 16.384 poin. Spektrum frekuensi yang dihasilkan adalah resolusi tinggi (8193 sampel), namun sangat bising. Filter digital low-pass kemudian digunakan untuk menghaluskan spektrum, mengurangi kebisingan dengan mengorbankan resolusi. Sebagai contoh, filter digital yang paling sederhana mungkin rata-rata 64 sampel yang berdekatan dalam spektrum asli menghasilkan setiap sampel dalam spektrum yang disaring. Melalui perhitungan, ini memberikan tentang noise dan resolusi yang sama dengan metode pertama, di mana 16.384 poin akan dibagi menjadi 64 segmen masing-masing 256 poin. Metode mana yang harus Anda gunakan Metode pertama lebih mudah, karena filter digital tidak dibutuhkan. Metode kedua memiliki potensi kinerja yang lebih baik, karena filter digital dapat disesuaikan untuk mengoptimalkan trade-off antara noise dan resolusi. Namun, peningkatan kinerja ini jarang sepadan dengan masalah. Hal ini karena baik noise dan resolusi dapat ditingkatkan dengan menggunakan lebih banyak data dari sinyal input. Misalnya, bayangkan memecahkan data yang diperoleh menjadi 10.000 segmen dari 16.384 sampel. Spektrum frekuensi yang dihasilkan ini beresolusi tinggi (8193 poin) dan noise rendah (10.000 rata-rata). Masalah dipecahkan Untuk alasan ini, kita hanya akan melihat metode segmen rata-rata dalam diskusi ini. Gambar 9-2 menunjukkan contoh spektrum dari mikrofon bawah laut kami, yang menggambarkan fitur yang biasa muncul dalam spektrum frekuensi sinyal yang diperoleh. Abaikan puncak yang tajam sejenak. Antara 10 dan 70 hertz, sinyal terdiri dari daerah yang relatif datar. Ini disebut white noise karena mengandung jumlah yang sama dari semua frekuensi, sama seperti white light. Ini berasal dari kebisingan pada bentuk gelombang domain waktu yang tidak berkorelasi dari sampel-ke-sampel. Artinya, mengetahui nilai kebisingan yang ada pada satu sampel tidak memberikan informasi mengenai nilai kebisingan yang ada pada sampel lainnya. Misalnya, gerak acak elektron di sirkuit elektronik menghasilkan white noise. Sebagai contoh yang lebih familiar, suara semprotan air yang menghantam lantai kamar mandi adalah white noise. Suara putih ditunjukkan pada Gambar. 9-2 bisa berasal dari beberapa sumber, termasuk analog elektronik, atau laut itu sendiri. Di atas 70 hertz, noise putih dengan cepat berkurang dalam amplitudo. Ini adalah hasil dari roll-off filter antialias. Filter ideal akan melewati semua frekuensi di bawah 80 hertz, dan blok semua frekuensi di atas. Dalam prakteknya, cutoff yang sangat tajam mungkin terjadi, dan Anda harus berharap untuk melihat penurunan bertahap ini. Jika Anda tidak menduga bahwa masalah aliasing ada. Di bawah sekitar 10 hertz, kebisingan dengan cepat meningkat karena rasa ingin tahu yang disebut noise 1f (noise satu-over-f). Kebisingan adalah sebuah misteri. Ini telah diukur dalam sistem yang sangat beragam, seperti kepadatan lalu lintas di jalan bebas hambatan dan kebisingan elektronik di transistor. Mungkin bisa diukur di semua sistem, jika Anda melihat frekuensi yang cukup rendah. Terlepas dari kejadiannya yang luas, teori umum dan pemahaman tentang kebisingan telah menghindari peneliti. Penyebab kebisingan ini dapat diidentifikasi dalam beberapa sistem tertentu, namun pertanyaan ini tidak menjawab mengapa kebisingan di mana-mana. Untuk analog umum dan sebagian besar sistem fisik, transisi antara white noise dan noise 1f terjadi antara sekitar 1 dan 100 hertz. Sekarang kita sampai pada puncak yang tajam pada Gambar. 9-2. Yang paling mudah dijelaskan adalah pada 60 hertz, akibat gangguan elektromagnetik dari tenaga listrik komersial. Juga mengharapkan untuk melihat puncak yang lebih kecil pada kelipatan frekuensi ini (120, 180, 240 hertz, dll.) Karena bentuk gelombang listrik tidak sempurna sinusoid. Hal ini juga umum untuk menemukan puncak mengganggu antara 25-40 kHz, favorit bagi perancang pasokan daya switching. Stasiun radio dan televisi terdekat menghasilkan puncak yang mengganggu di kisaran megahertz. Puncak frekuensi rendah bisa disebabkan oleh komponen dalam sistem yang bergetar saat digoyang. Ini disebut mikrofon. Dan biasanya menciptakan puncak pada 10 sampai 100 hertz. Sekarang kita sampai pada sinyal yang sebenarnya. Ada puncak yang kuat pada 13 hertz, dengan puncak yang lebih lemah pada 26 dan 39 hertz. Seperti yang telah dibahas di bab berikut, ini adalah spektrum frekuensi gelombang periodik nonsinusoidal. Puncak pada 13 hertz disebut frekuensi dasar, sedangkan puncak pada 26 dan 39 hertz disebut sebagai harmonik kedua dan ketiga masing-masing. Anda juga akan mengharapkan untuk menemukan puncak pada kelipatan 13 hertz lainnya, seperti 52, 65, 78 hertz, dll. Anda tidak melihat ini pada Gambar. 9-2 karena mereka dikubur dalam white noise. Sinyal 13 hertz ini mungkin dihasilkan, misalnya, oleh sebuah kapal selam tiga baling-baling berbilah berputar pada 4,33 putaran per detik. Ini adalah dasar sonar pasif, mengidentifikasi suara bawah laut dengan frekuensi dan konten harmonisnya. Misalkan ada puncak yang sangat berdekatan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9-3. Ada dua faktor yang membatasi resolusi frekuensi yang bisa didapat, yaitu seberapa dekat puncaknya bisa tanpa menyatu menjadi satu kesatuan. Faktor pertama adalah panjang DFT. Spektrum frekuensi yang dihasilkan oleh titik N DFT terdiri dari N 2 1 sampel yang sama jaraknya antara nol dan satu setengah dari frekuensi sampling. Untuk memisahkan dua jarak yang berdekatan, jarak sampel harus lebih kecil dari jarak antara dua puncak. Misalnya, DFT 512 titik cukup untuk memisahkan puncak pada Gambar. 9-3, sedangkan DFT 128 point tidak. Faktor kedua yang membatasi resolusi lebih halus. Bayangkan sebuah sinyal yang diciptakan dengan menambahkan dua gelombang sinus hanya dengan sedikit perbedaan pada frekuensi mereka. Selama segmen pendek dari sinyal ini, katakanlah beberapa periode, bentuk gelombang akan terlihat seperti gelombang sinus tunggal. Semakin dekat frekuensi, semakin lama segmen harus menyimpulkan bahwa lebih dari satu frekuensi hadir. Dengan kata lain, panjang sinyal membatasi resolusi frekuensi. Ini berbeda dengan faktor pertama, karena panjang sinyal input tidak harus sama dengan panjang DFT. Misalnya, sinyal 256 titik bisa dilapisi dengan angka nol sehingga panjangnya 2048 poin. Mengambil titik 2048 DFT menghasilkan spektrum frekuensi dengan 1.025 sampel. Angka nol yang ditambahkan tidak mengubah bentuk spektrum, mereka hanya memberi lebih banyak sampel di domain frekuensi. Terlepas dari sampling yang sangat dekat ini, kemampuan untuk memisahkan puncak jarak dekat akan sedikit lebih baik daripada menggunakan DFT 256 titik. Bila DFT memiliki panjang yang sama dengan sinyal input, resolusinya terbatas sama dengan kedua faktor ini. Kami akan segera kembali ke masalah ini. Pertanyaan selanjutnya: Apa yang terjadi jika sinyal input mengandung sinusoid dengan frekuensi antara dua fungsi dasar Gambar 9-4a menunjukkan jawabannya. Ini adalah spektrum frekuensi sinyal yang terdiri dari dua gelombang sinus, yang memiliki frekuensi yang sesuai dengan fungsi dasar, dan yang lainnya dengan frekuensi antara dua fungsi dasar. Seperti yang Anda harapkan, gelombang sinus pertama diwakili sebagai satu titik tunggal. Puncak lainnya lebih sulit dipahami. Karena tidak dapat diwakili oleh satu sampel tunggal, ia menjadi puncak dengan ekor yang memperpanjang jarak yang cukup jauh. Solusinya Kalikan sinyal dengan jendela Hamming sebelum mengambil DFT, seperti yang telah dibahas sebelumnya. Gambar (b) menunjukkan bahwa spektrum berubah dalam tiga cara dengan menggunakan jendela. Pertama, dua puncak dibuat agar terlihat lebih mirip. Ini bagus. Kedua, ekor sangat berkurang. Ini juga bagus. Ketiga, jendela mengurangi resolusi dalam spektrum dengan membuat puncaknya lebih lebar. Ini buruk. Dalam jargon DSP, jendela memberikan trade-off antara resolusi (lebar puncak) dan kebocoran spektral (amplitudo ekor). Untuk mengeksplorasi aspek teoritis ini secara lebih rinci, bayangkan sebuah gelombang sinus diskrit tak terhingga panjang pada frekuensi 0,1 laju sampling. Spektrum frekuensi sinyal ini adalah puncak yang sangat sempit, dengan semua frekuensi lainnya menjadi nol. Tentu saja, baik sinyal maupun spektrum frekuensinya dapat dibawa ke komputer digital, karena sifatnya yang tak terbatas dan sangat kecil. Untuk menyiasatinya, kita mengubah sinyal dengan dua cara, yang keduanya mendistorsi spektrum frekuensi sebenarnya. Pertama, kita memotong informasi dalam sinyal, dengan mengalikannya dengan sebuah jendela. Sebagai contoh, sebuah jendela persegi panjang 256 titik akan memungkinkan 256 poin untuk mempertahankan nilai yang benar, sementara semua sampel lainnya dalam sinyal tak terhingga panjangnya akan diset ke nilai nol. Demikian juga, jendela Hamming akan membentuk sampel yang tersimpan, selain mengatur semua titik di luar jendela menjadi nol. Sinyal ini masih jauh dari panjang, namun hanya sejumlah terbatas sampel yang memiliki nilai nol. Bagaimana penguraian ini mempengaruhi domain frekuensi Bila dua sinyal domain waktu dikalikan. Domain frekuensi yang sesuai dipecahkan. Karena spektrum aslinya adalah puncak yang sangat sempit (yaitu fungsi delta), spektrum sinyal berjendela adalah spektrum jendela yang bergeser ke lokasi puncak. Gambar 9-5 menunjukkan bagaimana puncak spektral akan muncul dengan menggunakan tiga pilihan jendela yang berbeda. Gambar 9-5a hasil dari jendela persegi panjang. Gambar (b) dan (c) hasil dari menggunakan dua jendela populer, Hamming dan Blackman (seperti yang telah disebutkan sebelumnya, lihat Persamaan 16-1 dan 16-2, dan Gambar 16-2a untuk informasi mengenai jendela ini). Seperti ditunjukkan pada Gambar. 9-5, semua jendela ini telah menurunkan spektrum aslinya dengan memperluas puncak dan menambahkan ekor yang terdiri dari banyak sisi lobus. Ini adalah hasil yang tidak dapat dihindari karena hanya menggunakan sebagian dari sinyal domain waktu asli. Di sini kita bisa melihat tradeoff antara tiga jendela. Blackman memiliki lobus utama terluas (buruk), namun ekor amplitudo terendah (bagus). Jendela persegi panjang memiliki lobus utama tersempit (bagus) tapi ekor terbesar (buruk). Jendela Hamming berada di antara keduanya. Perhatikan pada Gambar. 9-5 bahwa spektrum frekuensi adalah kurva kontinyu, bukan sampel terpisah. Setelah windowing, sinyal domain waktu masih jauh, meski sebagian besar sampelnya nol. Ini berarti bahwa spektrum frekuensi terdiri dari infin2 1 sampel antara 0 dan 0,5, yang sama dengan garis kontinyu. Ini membawa pada cara kedua kita perlu memodifikasi sinyal domain waktu agar bisa ditampilkan di komputer: pilih N poin dari sinyal. Poin N ini harus berisi semua titik nol yang diidentifikasi oleh jendela, namun mungkin juga mencakup sejumlah angka nol. Ini memiliki efek sampling spektrum frekuensi kurva kontinu. Misalnya, jika N dipilih menjadi 1024, kurva kontinyu spektrum akan diambil sampel 513 kali antara 0 dan 0,5. Jika N dipilih jauh lebih besar dari pada panjang jendela, sampel dalam domain frekuensi akan cukup dekat sehingga puncak dan lembah kurva kontinu akan dipertahankan dalam spektrum baru. Jika N dibuat sama dengan panjang jendela, semakin sedikit jumlah sampel dalam spektrum yang menghasilkan pola puncak dan lembah biasa yang berubah menjadi ekor yang tidak teratur, tergantung di mana sampel tersebut akan jatuh. Ini menjelaskan mengapa kedua puncak pada Gambar. 9-4a tidak terlihat sama. Setiap puncak pada Gambar 9-4a adalah contoh kurva yang mendasari pada Gambar. 9-5a. Kehadiran atau tidak adanya ekor bergantung pada tempat sampel diambil sehubungan dengan puncak dan lembah. Jika gelombang sinus sama persis dengan fungsi dasar, sampel terjadi persis di lembah, menghilangkan ekornya. Jika gelombang sinus berada di antara dua fungsi dasar, sampel terjadi di suatu tempat di sepanjang puncak dan lembah, menghasilkan berbagai pola ekor. Ini membawa kita ke jendela datar. Ditunjukkan pada Gambar. 9-5d. Dalam beberapa aplikasi, amplitudo puncak spektral harus diukur dengan sangat akurat. Karena spektrum frekuensi DFT terbentuk dari sampel, tidak ada yang menjamin bahwa sampel akan berada tepat di puncak puncak. Kemungkinan besar, sampel terdekat akan sedikit off-center, memberi nilai lebih rendah dari amplitudo sebenarnya. Solusinya adalah dengan menggunakan jendela yang menghasilkan puncak spektral dengan puncak datar. Mengasuransikan bahwa satu atau lebih sampel akan selalu memiliki nilai puncak yang benar. Seperti ditunjukkan pada Gambar. 9-5d, hukuman untuk ini adalah lobus utama yang sangat luas, sehingga menghasilkan resolusi frekuensi yang buruk. Ternyata, bentuk yang kita inginkan untuk jendela flat-top adalah bentuk yang persis sama dengan saringan filter filter low-pass. Kita akan membahas alasan teoritis untuk ini di bab selanjutnya untuk saat ini, berikut adalah deskripsi buku masak tentang bagaimana teknik ini digunakan. Bab 16 membahas filter low-pass yang disebut windowed-sinc. Persamaan 16-4 menjelaskan bagaimana menghasilkan kernel filter (yang ingin kita gunakan sebagai jendela), dan Gambar. 16-4a menggambarkan bentuk khas kurva. Untuk menggunakan persamaan ini, Anda perlu mengetahui nilai dua parameter: M dan f c. Ini ditemukan dari hubungan: M N -2, dan f c s N. Dimana N adalah panjang DFT yang digunakan, dan s adalah jumlah sampel yang Anda inginkan pada bagian datar puncak (biasanya antara 3 dan 5). Tabel 16-1 menunjukkan sebuah program untuk menghitung kernel filter (jendela kita), termasuk dua fitur halus: konstanta normalisasi, K, dan bagaimana menghindari kesalahan pembagi-demi-nol pada sampel tengah. Bila menggunakan metode ini, ingatlah bahwa nilai DC satu dalam domain waktu akan menghasilkan puncak amplitudo satu di domain frekuensi. Namun, sebuah sinusoid amplitudo satu dalam domain waktu hanya akan menghasilkan puncak spektral amplitudo satu setengah. (Ini dibahas pada bab terakhir: Sintesis, Perhitungan DFT Inverse). Panduan Ilmuwan dan Insinyur untuk Pengolahan Sinyal Digital Oleh Steven W. Smith, Ph. D. The Scientist and Engineers Guide to Digital Signal Processing oleh Steven W. Smith, 11172001 Edisi Pertama (hardcover) halaman 2, baris 1, di sini - di mana halaman 2, baris 3, meledak - meledak halaman 2, baris. Vender - vendor halaman 5, baris 12, kekhasan - terutama halaman 6, baris 18, beresonansi - resonansi halaman 7, paragraf 2 penuh, baris 9, diketahui - ketahui halaman 7, baris ketiga dari bawah, at - as Halaman 9, baris 7, kriteria - kriteria halaman 13, Gambar. 2-1b, Mean 3.5 - Mean 3.0 halaman 17, Tabel 2-2, bug program: bagi dengan nol kesalahan yang dihasilkan pada halaman loop pertama 20, Gambar. 2-4 keterangan, baris 4, menunjukkan - tunjukkan halaman 20, baris 1, 8 sampel - 7 contoh halaman 21, Tabel 2-3, baris 340: HI - HI halaman 22, paragraf 4, baris ketiga sampai terakhir, 0 sampai 255 - 0 dan 255 halaman 22, paragraf ke 4, baris kedua sampai terakhir, histogram - pmf halaman 23, paragraf 3, baris 3, 121 - 120 - (121 - 120) halaman 23, paragraf ketiga, baris kelima , 120.5 - 120.4 - (120.5 - 120.4) halaman 25, Tabel 2-4, bug program: program tidak akan menangani nilai 10,0 halaman 25, Tabel 2-4, baris 230. 01 - 100 halaman 26, Gambar. 2-7 baris keterangan 6, 21 tempat sampah - 9 tempat sampah halaman 26, baris 7, hapus di halaman 28, paragraf ketiga, baris 10, hapus yang kedua adalah halaman 29, baris 5, komunikasi - komunikasikan halaman 32, paragraf kelima, Baris 3, memiliki - halaman 32, baris ketiga dari bawah, halaman penggunaan yang digunakan 39, paragraf ketiga, baris 2, halaman kontinu - kontinyu 41, judul, baris 2, dibuat ulang - buat ulang halaman 41, baris 7, Mereka - ada halaman 42, paragraf pertama, baris 10, It - Jika halaman 42, paragraf 2 penuh, baris 9. 3.5 sampai 4.0 - 2.5 sampai 3.0 halaman 43, baris 10, Anda - halaman Anda 46, 3 Paragraf penuh, baris 9, diperlihatkan - menunjukkan halaman 50, baris 1, halaman yang digunakan, 54, paragraf 2, baris terakhir, roll-off-roll-off adalah halaman 62, paragraf kelima, baris 10, Meningkatkan halaman 75, baris 14, membuat - membuat halaman 77, Tabel 4-4, baris 4, DS: 0 - DS: 2 halaman 81, baris 9 dan baris 12, personel - halaman pribadi 82, paragraf 3, 3 Baris dari bawah, personil - halaman pribadi 83, paragraf kedua, baris 7, seterusnya - halaman keempat 85, baris 10 dari bawah, chan Ge untuk membaca: sin (-x) - sin (x) halaman 90, caption, baris terakhir, y2 - y1 halaman 96, paragraf kedua, baris 1, Gambar 5-11 - Gambar 5-8 halaman 99, baris 3 , X1n, x2n, x3n - x0n, x1n, x2n halaman 99, baris 6, y1n, y2n, y3n - y0n, y1n, y2n halaman 100, paragraf ketiga, baris 5, di sana - halaman 101, Gbr. 5-13, tanda grafik x27n dibalik halaman 102, baris 9, formulir - dari halaman 103, paragraf 2, baris 4, halaman 103, paragraf 2, baris 10, halaman disintesis - sintesis yang disintesis 116, paragraf kedua, baris 1, lihat - lihat halaman 120, baris terakhir, Pers. 6-2 - Pers. 6-1 halaman 123, baris 10, Forth - halaman keempat 128, Tabel 7-1, program perbedaan pertama, nomor baris terduplikasi 110 halaman 128, Tabel 7-1, program perbedaan pertama, baris 120, YI-1 - XI -1 halaman 128, Tabel 7-1, jumlah penjumlahan program, nomor baris terduplikasi 120 halaman 142, paragraf 3, baris 9, halaman sinusoidal sinusoidal 144, paragraf 7, baris 10 amp 12, halaman imajiner imajiner 147, Gambar . 8-3, Domain Frekuensi, gelombang sinus - gelombang kosinus 147, Gambar. 8-3, Domain Frekuensi, gelombang kosinus - gelombang sinus halaman 151, Gambar. 8-5 baris keterangan 3, halaman kontinu - kontinu 152, paragraf 2, baris 8, thepattern - halaman pola 160, Tabel 8-2, garis 340 amp 350, XI - XXI halaman 162, baris 2 dan 3 setelah Ara. 8-9, Pers. 8-4 - Pers. 8-5 halaman 174, keterangan, baris kedua dari bawah, halaman Blackman - Hamming 179, Gambar 9-7d, hapus garis vertikal melalui label gambar halaman 182, baris terakhir, hapus ruang ekstra di akhir baris 188, baris 5, AmpPhase - amp Phase halaman 196, baris 2, halaman lihat - lihat 202, paragraf penuh 3, baris 5, halaman kontinyu - kontinyu 202, paragraf penuh ke 3, baris 6, gambar - gambar 202, paragraf penuh ke-3, Baris 10, meminimalkan - meminimalkan halaman 202, paragraf 3 penuh, baris 11, baris frekuensi freqeuncy 206, baris 9, di atas satu sama lain - halaman ujung ke ujung 208, Judul persamaan, Persamaan 10-2 - - Persamaan 10-3 halaman 208, paragraf kedua, baris 8, 10-1 - 10-3 halaman 208, baris ketiga dari bawah, Pers. 10-1 - Pers. 10-3 halaman 212, paragraf pertama, baris 1, Gambar 11-4 - Gambar 11-3 halaman 214, baris 13, dosa (pi kMN) - sin (pi kN) halaman 214, baris 13, pi kMN - - pi kNpage 214, paragraf penuh 3, baris 5, sin (x) x - sin (pi x) (pi x) halaman 216, paragraf 4: Setidaknya ada dua bentuk gelombang lain yang merupakan transformasi Fourier mereka sendiri: null Fungsi, dan kereta impuls (lihat halaman 44) halaman 220, keterangan, baris terakhir, halaman genap 229, Tabel 12-3, contoh 6: 0100 - 0110 halaman 234, baris pertama, hapus halaman 239 ini, Baris pertama, sinyal - halaman sinyal 240, baris 10, Bab 6 - Bab 5 halaman 245-259, judul halaman ganjil, halaman Continious - Continuous 274, Gambar 14-8, baris keterangan 1, halaman Bermerek Desain 274, paragraf 2 penuh, baris 78, band-pass-band-stop halaman 275, Gambar 14-9, baris keterangan 1, Deigning - Merancang halaman 278, baris 5, 11 - 10 halaman 284, tabel 15-2 , Garis 250, Y0 - Y0 halaman 284, tabel 15-2, baris 300, ACC - ACC101 halaman 288, Gambar. 16-3b, label untuk Hamming dan Blackman dibalik halaman 304, paragraf 2 penuh, baris terakhir, allow - allow page 305, Tabel 17-5, caption, line 4, (b) dibagi dengan (d) - ( D) dibagi dengan (b) halaman 309, Gambar. 17-9c, Weiner - Wiener halaman 315, keterangan, baris 2, (d) amp (e) - (e) amp (f) halaman 329, Gambar. 19-7a, angka kanan yang hilang pada label sumbu y halaman 341, Tabel 20-5, garis 1390, - K2 - - (K2) halaman 360, baris 5, di luar ke dalam - di dalam ke luar halaman 362, baris 2 , 14 bit - 15 bit halaman 365, baris 4 dan baris 5 dari bawah, format - formant pate 366 baris 13, format - formant page 369, Fig. 22-10 baris keterangan 3, menunjukkan - menunjukkan bahwa halaman 370, paragraf penuh 4, baris 2, log (xy) - log (xy) halaman 371, baris 3, a - a. Halaman 372, baris terakhir, halaman proses - proses 374, baris 8, halaman pribadi - pribadi 390, paragraf 2, baris 4, 175 - 150 halaman 405, Gambar. 24-6, label pada gambar, vert - vertebrata halaman 405, Gambar. 24-6, label angka, horzr - horzc halaman 407, paragraf 3, baris 1, setiap hari - halaman harian 440, baris 9, persis satu - - nol atau satu halaman 449, gambar gambar, Gambar 25-20 - - Gambar 25-19 halaman 449, Pers. 25-2, 4pi2 - -4pi2 halaman 469, baris 1050, nomor 1060 pada akhirnya harus menjadi nomor baris berikutnya halaman 469, Tabel 26-3, baris 3040, FOR INPUT NODES - UNTUK LAPANGAN TERSEMBUNYI halaman 469, Tabel 26-3, garis 3140, UNTUK HIDDEN NODES - UNTUK LAPISAN OUTPUT halaman 475, Gbr. 26-12 caption line 9, adalah intinya - adalah titik halaman 493, Gbr. 27-8 baris keterangan 2, STRING harus dicetak miring 507, Gambar. 28-2, M sqr (85) - M sqr (40) halaman 509, paragraf 4, baris 5, menggunakan - Menggunakan halaman 511, Gambar. 28-3 caption line 7, memungkinkan - memungkinkan halaman 512, baris 7, M amp theta - M amp Phi halaman 513, paragraf kelima, baris 7, 2.1213 - - 2.1213 halaman 513, paragraf penuh ke 5, baris 8, - j 2.1213 - j 2.1213 halaman 513, paragraf penuh ke 5, baris 10, - 0.5740 - 0.5740 halaman 513, paragraf penuh ke 5, baris 11, j 0.5740 - - j 0.5740 halaman 514, Gbr. 28-4, 2.1213 - - 2.1213 halaman 514, Gambar. 28-4, - j 2.1213 - j 2.1213 halaman 514, Gambar. 28-4, j 0.4619 - - j 0.4619 halaman 514, Gambar. 28-4, - 0.5740 - 0.5740 halaman 514, Gambar. 28-4, j 0.5740 - - j 0.5740 halaman 514, paragraf pertama 1, baris 2, j 0.4619 - - j 0.4619 halaman 514, paragraf pertama 1, baris 5, 0.4619 - -0.4619 halaman 521, Pers. 29-3 dalam persamaan cos, - e (-jx) - e (-jx) halaman 522, baris 3, diperlukan - memerlukan halaman 525, Pers. 29-8 baris keterangan 2, Pers. 21-7 - Pers. 29-7 halaman 525, Pers. 29-8, knN j sin - knN j sin halaman 525, Pers. 29-8, knN j cos - knN - j cos halaman 529, 9. Scaling - 8. Scaling page 529, 10. Variasi - 9. Variasi halaman 545, parag 2 penuh. Baris 1, bab terakhir - bab 28 halaman 549, Gambar keterangan, Gambar 30-6 - Gambar 30-7 halaman 551, Gambar. 30-8 keterangan, bab terakhir - bab 28 halaman 552, paragraf ke-3, baris 1, Gambar 30-7 - Gambar 30-9 halaman 554, paragraf pertama 2, baris 4, halaman imajiner 555, baris 4 , Sumbu imajiner - sumbu real halaman 558, persamaan 6 baris dari bawah, yn rn - yn r (-n) halaman 559, Gambar. 31-1a, b, c (perubahan di 3 tempat), yn rn - - yn r (-n) halaman 559, Gbr. 31-1a, r 0.9 - r 1.1 halaman 559, Gambar. 31-1c, r 1.1 - r 0.9 halaman 559, baris 2, ubah untuk membaca: akan menurun jika r1, dan meningkat jika rlt1. Halaman 559, Persamaan setelah baris 5 harus dibaca: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) di mana: sigma ln (r) halaman 559, Persamaan dasar harus dibaca: X (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) halaman 560, persamaan teratas, harus dibaca: zre (j omega) halaman 561, paragraf 2, baris 6, harus antara - - Harus antara halaman 560, paragraf kedua, baris 6, apakah ini - di halaman 564, baris 3, membagi - mengalikan halaman 564, paragraf 4, baris 8, metode tidak dapat - metode umumnya tidak dapat halaman 564, baris 14, s-domain-z-domain halaman 571, pembilang setengah kanan persamaan, wz yz-wz xy halaman 577, Gambar 31-7, garis 340, Gambar 23-8 - Gambar 31-8 Halaman 578, paragraf ke-3, baris terakhir, H (s) - Hz halaman 578, baris ketiga dari bawah, 0 sampai pi radianssecond - 0 sampai tak terhingga radian halaman 622, Under Fourier Transform, ubah waktu diskrit Deret Fourier ke waktu diskrit Fourier Mengubah Edisi Kedua (file pdf softcover dan elektronik) halaman 2, baris 6, vender - vendor halaman 5, baris 12, kekhususan - khusus Halaman 6, baris 18, resonansi - halaman resonansi 7, baris ketiga dari bawah, di - seperti halaman 9, baris 7, kriteria - kriteria halaman 17, Tabel 2-2, bug program: bagi dengan nol kesalahan yang dihasilkan pada Halaman loop pertama 20, Gambar. 2-4 keterangan, baris 4, menunjukkan - tunjukkan halaman 20, baris 1, 8 sampel - 7 contoh halaman 21, Tabel 2-3, baris 340, HI - HI halaman 22, paragraf 4, baris 2 sampai terakhir, Histogram - pmf halaman 23, paragraf 3, baris 3, 121 - 120 - (121 - 120) halaman 23, paragraf ke - 3, baris kelima, 120.5 - 120.4 - (120.5 - 120.4) halaman 25, Tabel 2-4, Program bug: program tidak akan menangani nilai 10,0 halaman 25, Tabel 2-4, baris 230. 01 - 100 halaman 26, baris 7, hapus di halaman 32, baris ketiga dari bawah, gunakan - gunakan halaman 39, paragraf ketiga , Baris 2, halaman kontinu - kontinyu 41, judul, baris 2, dibuat ulang - buat ulang halaman 41, baris 7, halaman di sebelah mereka 54, paragraf 2, baris terakhir, roll-off-roll-off adalah halaman 62 , Paragraf kelima, baris 9, kenaikan - tingkatkan halaman 77, Tabel 4-4, baris 4, DS: 0 - DS: 2 halaman 81, baris 9 dan baris 12, halaman pribadi - pribadi 82, paragraf 3, 3 Baris dari bawah, halaman personalia - pribadi 85, baris 4 dari bawah, ganti untuk membaca: sin (-x) - sin (x) halaman 90, caption, last line, y2 - y1 page 93, Ara. 5-6b, sumbu x, B - H halaman 128, Tabel 7-1, program perbedaan pertama, nomor baris terduplikasi 110 halaman 128, Tabel 7-1, program perbedaan pertama, garis 120, YI-1 - XI - 1 halaman 128, Tabel 7-1, menjalankan program jumlah, nomor baris terduplikasi 120 halaman 162, baris 2 dan 3 setelah Gambar. 8-9, Pers. 8-4 - Pers. 8-5 halaman 174, keterangan, baris 2 dari bawah, halaman Blackman - Hamming 206, judul untuk Pers. 10-1, tambahkan baris terakhir antara 0 dan pi. Halaman 214, baris 13, sin (pi kMN) - sin (pi kN) halaman 214, baris 13, pi kMN - pi kN halaman 220, keterangan, baris terakhir, halaman ganjil 234, baris pertama, hapus Halaman 239, garis pertama, sinyal - halaman sinyal 240, baris 10, Bab 6 - Bab 5 halaman 278, baris 5, 11 - 10 halaman 284, tabel 15-2, baris 250, Y0 - Y0 halaman 284 , Tabel 15-2, baris 300, ACC - ACC101 halaman 288, Gambar. 16-3b, label untuk Hamming dan Blackman dibalikkan halaman 305, Tabel 17-5, caption, baris 4, (b) dibagi dengan (d) - (d) dibagi dengan (b) halaman 309, Gbr. 17-9c, Weiner - Wiener halaman 315, keterangan, baris 2, (d) amp (e) - (e) amp (f) halaman 360, baris 5, luar ke dalam - dalam ke luar halaman 362, baris 2, 14 bit - 15 bit halaman 365, baris 4 dan baris 5 dari bawah, format - formant pate 366 baris 12, format - formant halaman 370, paragraf penuh 4, baris 2, log (xy) - log Xy) halaman 371, baris 3, tambahkan. Pada akhir kalimat halaman 371, baris 9, multi-plikasi - perkalian halaman 374, baris 8, halaman pribadi 390, paragraf kedua, baris 4, 175 - 150 halaman 407, paragraf ke-3, baris 1, setiap hari - halaman harian 440, baris 9, persis satu - - nol atau satu halaman 449, Pers. 25-2, 4pi2 - -4pi2 halaman 469, Tabel 26-3, garis 3040, UNTUK INPUT NODES - UNTUK LAPANGAN TERSEMBUNYI halaman 469, Tabel 26-3, baris 3140, UNTUK NAMA TERSEMBUNYI - UNTUK LAPISAN OUTPUT halaman 516, Baris 8, 30.000 - 3000 halaman 523, Tabel 28-4, baris 008, pm (k12, m14) - pm (i12, m14) halaman 543, paragraf penuh 4, baris 5, 29-3 - 29- 2 halaman 543, Gambar. 29-4 keterangan, baris 5, 29-3a - 29-2a halaman 548, baris 15 dari bawah, (echo, 1 latest, dm) - - (echo, 1, latest, dm) halaman 555, Gbr. 30-2, M sqr (85) - M sqr (40) halaman 577, 9. Scaling - 8. Scaling page 577, 10. Variasi - 9. Variasi halaman 590, caption, line 7, 30-5 - - 32-5 halaman 602, paragraf ke 3, baris 4, halaman imajiner 603, baris 4, sumbu imajiner - sumbu real halaman 606, persamaan 6 baris dari bawah, yn rn - yn r (-n) Halaman 607, Gambar. 33-1a, b, c (perubahan di 3 tempat), yn rn - - yn r (-n) halaman 607, Gbr. 33-1a, r 0.9 - r 1.1 halaman 607, Gambar. 33-1c, r 1.1 - r 0.9 halaman 607, baris 2, ubah untuk membaca: akan menurun jika r1, dan meningkat jika rlt1. Halaman 607, Persamaan setelah baris 5 harus dibaca: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) di mana: sigma ln (r) halaman 607, Persamaan dasar harus dibaca: X (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) halaman 608, persamaan teratas, harus dibaca: zre (j omega) halaman 608, paragraf 2, baris 6, harus antara - - harus antara halaman 612, baris 3, membagi - mengalikan halaman 612, baris 13, s-domain - z-domain halaman 612, paragraf 4, baris 8, metode tidak dapat - metode umumnya tidak dapat halaman 619, pembilang hak Setengah dari persamaan, wz yz - wz xy halaman 626, baris ketiga dari bawah, 0 sampai pi radianssecond - 0 sampai tak terhingga radian halaman 631, header, Study Guide - Glosarium halaman 645-650, header, Glossary - Index page 646, Under Fourier Transform, mengubah waktu diskrit Fourier series menjadi waktu diskrit Fourier transformComputational tools Analogously, DataFrame memiliki metode untuk menghitung kovarian pairwise diantara rangkaian di DataFrame, juga mengecualikan nilai NAnull. Dengan asumsi data yang hilang hilang secara acak his results in an estimate for the covariance matrix which is unbiased. Namun, untuk banyak aplikasi estimasi ini mungkin tidak dapat diterima karena matriks kovarians diperkirakan tidak dijamin bersifat semi-pasti positif. Hal ini dapat menyebabkan korelasi yang diperkirakan memiliki nilai absolut yang lebih besar dari satu, dan atau matriks kovariansi yang tidak dapat dibalik. Lihat Estimasi matriks kovarian untuk lebih jelasnya. DataFrame. cov juga mendukung kata kunci minperiod opsional yang menentukan jumlah pengamatan minimum yang diperlukan untuk setiap pasangan kolom agar memiliki hasil yang valid. Bobot yang digunakan di jendela ditentukan oleh kata kunci wintype. Daftar tipe yang dikenali adalah: boxcar triang blackman hamming bartlett parzen bohman blackmanharris nuttall barthann kaiser (kebutuhan beta) gaussian (kebutuhan std) generalgausia (butuh daya, lebar) slepian (kebutuhan lebar). Perhatikan bahwa jendela boxcar setara dengan mean (). Untuk beberapa fungsi windowing, parameter tambahan harus ditentukan: Untuk. sum () dengan wintype. Tidak ada normalisasi yang dilakukan pada bobot jendela. Melewati bobot kebiasaan 1, 1, 1 akan menghasilkan hasil yang berbeda dari pada bobot yang sama dari 2, 2, 2. misalnya. Ketika melewati sebuah wintype dan bukan secara eksplisit menentukan bobotnya, bobotnya sudah dinormalisasi sehingga bobot terbesar adalah 1. Sebaliknya, sifat perhitungan. mean () adalah sedemikian rupa sehingga bobotnya dinormalisasi satu sama lain. Bobot 1, 1, 1 dan 2, 2, 2 menghasilkan hasil yang sama. Time-aware Rolling New di versi 0.19.0. Baru di versi 0.19.0 adalah kemampuan untuk melewatkan offset (atau konversi) ke metode. rolling () dan memilikinya menghasilkan jendela berukuran variabel berdasarkan jendela waktu yang berlalu. Untuk setiap titik waktu, ini mencakup semua nilai sebelumnya yang terjadi dalam delta waktu yang ditunjukkan. Ini bisa sangat berguna untuk indeks frekuensi waktu non-reguler. Ini adalah indeks frekuensi reguler. Menggunakan parameter jendela integer bekerja untuk memutar sepanjang frekuensi jendela. Menentukan offset memungkinkan spesifikasi frekuensi rolling yang lebih intuitif. Menggunakan indeks non-reguler, namun masih monoton, bergulir dengan jendela integer tidak memberikan perhitungan khusus. Menggunakan spesifikasi waktu menghasilkan jendela variabel untuk data yang jarang ini. Selanjutnya, sekarang kami mengizinkan parameter opsional untuk menentukan kolom (bukan default indeks) di DataFrame. Time-aware Rolling vs. Resampling Menggunakan. rolling () dengan indeks berbasis waktu sangat mirip dengan resampling. Mereka berdua mengoperasikan dan melakukan operasi reduktif pada objek panda yang diindeks dengan waktu. Saat menggunakan. rolling () dengan offset. Offset adalah waktu-delta. Ambil jendela belakang mundur, dan agregat semua nilai di jendela itu (termasuk titik akhir, tapi bukan titik awal). Ini adalah nilai baru pada saat itu hasilnya. Ini adalah jendela berukuran variabel dalam ruang waktu untuk setiap titik masukan. Anda akan mendapatkan hasil ukuran yang sama dengan inputnya. Bila menggunakan. resample () dengan offset. Buatlah indeks baru yang merupakan frekuensi offset. Untuk setiap bin frekuensi, titik agregat dari masukan dalam jendela mencari mundur yang pada waktu itu berada dalam bin itu. Hasil agregasi ini adalah keluaran untuk titik frekuensi tersebut. Jendela adalah ukuran ukuran tetap di ruang frekuensi. Hasil Anda akan memiliki bentuk frekuensi reguler antara min dan max dari objek masukan asli. Untuk meringkas. Rolling () adalah operasi jendela berbasis waktu, sedangkan. resample () adalah operasi jendela berbasis frekuensi. Memusatkan Windows Secara default label disetel ke tepi kanan jendela, namun kata kunci tengah tersedia sehingga labelnya dapat disetel di tengahnya. Fungsi Binary Window cov () dan corr () dapat menghitung statistik window bergerak sekitar dua Series atau kombinasi DataFrameSeries atau DataFrameDataFrame. Inilah perilaku dalam setiap kasus: dua Seri. Hitung statistik untuk pemasangan. DataFrameSeries. Hitung statistik untuk setiap kolom DataFrame dengan Seri yang dilewati, sehingga mengembalikan DataFrame. DataFrameDataFrame. Secara default hitung statistik untuk mencocokkan nama kolom, mengembalikan DataFrame. Jika kata kunci argumen pairwiseTrue dilewatkan maka hitung statistik untuk setiap pasangan kolom, mengembalikan Panel yang itemnya adalah tanggal yang dimaksud (lihat bagian selanjutnya). Komputasi berputar kovarian dan korelasi berpasangan Dalam analisis data keuangan dan bidang lainnya, hal itu umum untuk menghitung kovarians dan matriks korelasi untuk kumpulan deret waktu. Seringkali seseorang juga tertarik pada kovarians bergerak-jendela dan matriks korelasi. Hal ini dapat dilakukan dengan melewatkan argumen kata kunci berpasangan, yang jika input DataFrame akan menghasilkan Panel yang itemnya adalah tanggal yang dimaksud. Dalam kasus argumen DataFrame tunggal argumen berpasangan bahkan dapat diabaikan: Nilai yang hilang diabaikan dan setiap entri dihitung dengan menggunakan pengamatan lengkap berpasangan. Silakan lihat bagian kovarian untuk peringatan yang terkait dengan metode penghitungan kovarian dan matriks korelasi ini. Selain tidak memiliki parameter jendela, fungsi ini memiliki antarmuka yang sama dengan rekan kerja mereka. Seperti di atas, parameter yang mereka terima adalah: minperiods. Ambang titik data non-null yang dibutuhkan. Default ke minimum yang dibutuhkan untuk menghitung statistik. Tidak ada NaN yang akan menjadi output setelah titik data non-null minperiod terlihat. pusat. Boolean, apakah untuk mengatur label di bagian tengah (default is False) Output dari metode. rolling dan. expanding tidak mengembalikan NaN jika setidaknya ada nilai minperiods non-null di jendela aktif. Ini berbeda dari cumsum. Cumprod Cummax Dan cummin. Yang mengembalikan NaN ke output dimanapun NaN ditemui di input. Statistik jendela yang meluas akan lebih stabil (dan kurang responsif) dibandingkan dengan window window yang bergulir seiring meningkatnya ukuran jendela yang mengurangi dampak relatif dari titik data individual. Sebagai contoh, di sini adalah mean () output untuk dataset seri waktu sebelumnya: Windows yang tertimbang secara eksponensial Rangkaian fungsi terkait adalah versi tertimbang secara eksponensial dari beberapa statistik di atas. Antarmuka yang serupa dengan. rolling dan. expanding diakses melalui metode. ewm untuk menerima objek EWM. Sejumlah metode EW (exponentially weighted) yang berkembang juga disediakan: